Principio Matemático

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Es un hecho que todo cálculo real contiene errores.  Existen límites sobre cuánta precisión podemos lograr en cualquier medición.  Si un capitán obtiene la elevación de una estrella con su sextante, no puede obtener infinitos decimales, igualmente, en la mayoría de los cálculos en la vida real, partimos de valores que contienen errores.  Si tenemos un saldo en el banco, y nos acreditan intereses, las décimas de centavo terminan redondeadas a cetavos.  Así pues, en tanto una tabla sea correcta dentro de las posiciones decimales que muestra, la aproximación es aceptable.

La mayoría de las formulas pueden aproximarse mediante una serie polinómica tal como:

an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0

Cuanto más términos se tienen (o sea, cuanto más alto es 'n') tanto menor es el error que se obtiene.  Aún funciones que no parecen darse naturalmente a una aproximación polinómica pueden obtenerse, dentro de un cierto rango, dada una buena selección de coeficientes.

La línea roja en la imagen de la izquierda representa la función seno de un ángulo para un giro completo.  Las otras curvas representan sucesivas aproximaciones.   Se muestra el coeficiente ('n=..') que corresponde a cada curva.  La curva de n=9 no se puede ver pues la curva real (roja) la oculta por completo.   Consecuentemente, a los fines de este gráfico, un polinomio de n=9 es indistinguible de la función real.

Los coeficientes ('a') son cero para todos los valores pares de 'n' mientras que el resto son (1/n!), alternándose el signo (positivo para n=1, negativo para n=3, positivo para n=5 y así sucesivamente)

Vamos a ver los valores para un cierto polinomio, tal como: 3x + 1

X f(x) dif.
1 4  
2 7 3
3 10 3
4 13 3

La primera columna representa los valores de X; la segunda, el resultado de calcular la función para ese valor de X.  La última columna es la diferencia entre los valores de la fila actual menos la anterior.  Para un polinomio de grado n=1, la primera diferencia es siempre una constante.  Siendo que este polinomio representa una línea recta, es lógico que se incremente regularmente, por ello las diferencias entre sucesivos valores a intervalos regulares son siempre iguales.

Para un polinomio de  n=2, tal como 2 x2 + 3 x + 1, tendríamos:

X f(x) dif1 dif2
1 6    
2 15 9  
3 28 13 4
4 45 17 4
5 66 21 4

En este caso, la primera columna de diferencias (dif1) aún varía, pero si calculamos la diferencia entre diferencias sucesivas, obtenemos los valores de la columna dif2 que son iguales entre si.

De hecho, para cualquier polinomio de grado 'n', la enésima diferencia será siempre una constante.

La Máquina diferencial opera al reverso, o sea, una vez que uno conoce los valores de la primera fila, se puede obtener el resto.  En este último ejemplo, sólo se necesitan los números 6, 9 y 4 para obtener el resto.

Los valores de la siguiente tabla se obtuvieron por tal proceso.

X f(x) dif1 dif2
1 6 9 4
2 15 13 4
3 28 17 4
4 45 21 4
5 66 25 4
6 91 29 4
7 120 33 4
8 153 37 4

Dada la primera fila, 6, 9 y 4 se calcula cada casilla de cada fila sucesiva sumando los valores de la celda inmediatamente arriba y aquella a su derecha.  Así pues, en la segunda fila tenemos 6 + 9 ==> 15, 9 + 4 ==> 13 y, finalmente, dado que la última columna es siempre una constante, simplemente la repetimos (otra forma de verlo es que la tercer diferencia es siempre cero, de donde resulta que 4 + 0 ==> 4).

Entonces, para la tercer fila, tenemos 15 + 13 ==> 28, 13 + 4 ==> 17. El resto de las filas se calcularon por ese método y se pueden verificar calculando el polinomio real.

El proceso es tan simple que debería poder efectuarse 'mediante vapor', como Babbage quería.

Por supuesto, el primer problema es calcular la primera fila, y es por ello que la Máquina Diferencial no puede calcular cualquier valor, el proceso depende de ir calculando valores sucesivos partiendo de uno conocido, más la primera fila de diferencias.  Para un polinomio simple como este, la tarea es fácil, pero para un polinomio complejo, es mucho más difícil.  Más aún, primero se debe obtener aquel polinomio que mejor se aproxime a la curva real que se desea calcular, tal como la función seno de más arriba.  Todos ellos son procesos algrebraicos bien conocidos, aunque no fáciles.

Este esfuerzo comienza a redituar en cuanto se comienzan a obtener páginas y páginas con columnas llenas de valores, que es lo más tedioso, lento y proclive a error.


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